[Ôn Thi Đại Học Môn Toán] Phương trình mũ và phương trình lôgarit: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm

[Ôn Thi Đại Học Môn Toán] Phương trình mũ và phương trình lôgarit: Lý thuyết và bài tập trắc nghiệm
 

Phần 1: Lý thuyết

Để giải các phương trình mũ và lôgarit, ngoài việc phải thành thạo các công thức biến đổi biểu thức mũ và lôgarit, cần nhớ các biến đổi tương đương cơ bản sau (dưới đây ta luôn giả thiết 0 < a ≠ 1)
+ a^x = b <=> x = log_ab (b > 0) ; nếu b ≤ 0 thì phương trình này vô nghiệm)
+ Tổng quát hơn, a^f(x) = b <=> f(x) = log_ab (b > 0)
+ a^f(x) = a^g(x) <=> f(x) = g(x)
+ log_ax = b <=> x = a^b
+ Tổng quát hơn, log_af(x) = b <=> f(x) = a^b

Phần 2: Bài tập trắc nghiệm

Bài tập trắc nghiệm phần 1

Đề bài trắc nghiệm

Câu 1: Giả sử x là nghiệm của phương trình

A. 0   B. ln3    C. –ln3    D. 1/ln3
Câu 2: Tính tích tất cả các nghiệm của phương trình 3^{2×2 + 2x + 1} – 28.3^{x2 + x} + 9 = 0
A. -4    B. -2    C. 2    D. 4
Câu 3: Tìm nghiệm của phương trình 2^{x – 1} = 3^{1 – 2x}

Câu 4: Giải phương trình (x² – 2x)lnx = lnx³
A. x = 1, x = 3    B. x = -1, x = 3     C. x = ±1, x = 3    D. x = 3
Câu 5: Nếu log₇(log₃(log₂x)) = 0 thì x^-1/2 bằng :

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 1:
Để ý rằng

nên phương trình đã cho tương đương với

Chọn đáp án A.
Câu 2:
Đặt t = 3^x2 + x > 0 nhận được phương trình

Với t = 1/3 = 3^-1 được 3^{x2 + x} = 3^-1 <=> x² + x + 1 = 0(vô nghiệm)
Với t = 9 được phương trình x² + x – 2 = 0 <=> x -2 hoặc x = 1
Tích của hai nghiệm này bằng -2.
Chọn đáp án B
Câu 3:
Có nhiều cách biến đổi phương trình này. Tuy nhiên, nhận thấy các biểu thức trong các phương án đều chứa log₂3 , nên ta lấy lôgarit cơ số 2 hai vế của phương trình để nhận được (x – 1) = (1 – 2x)log₂3
<=> x(2log₂3 + 1) = log₂3 + 1

Chọn đáp án D
Câu 4:
Điều kiện x > 0. Khi đó phương trình đã cho tương đương với
(x² -2x)lnx = 3lnx <=> (x² – 2x + 3)lnx = 0

Vậy phương trình có hai nghiệm là x = 1, x = 3 .
Chọn đáp án A.
Chú ý. Sai lầm thường gặp là quên điều kiện dẫn đến không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu C.
Thậm chí, có thể học sinh biến đổi (x² – 2x)lnx = 3lnx <=> x² -2x = 3(giản ước cho lnx) dẫn đến mất nghiệm x = 1 và chọn phương án nhiễu D.
Câu 5:
log₇(log₃(log₂x)) = 0 <=> log₃(log₂x) = 7⁰ = 1
<=> log₂x = 3^t <=> x = 2³ = 8
Chọn đáp án C
 

Bài tập trắc nghiệm phần 2

Đề bài trắc nghiệm

 
Câu 6: Giải phương trình logx = log(x + 3) – log(x – 1)
A. x = 1   B. x = 3   C. x = 4    D. x = -1, x = 3
Câu 7: Giải phương trình log_√2(x + 1) = log₂(x² + 2) – 1
A. x = 1   B. x = 0   C. x = 0, x = -4   D. x = 0, x = 1
Câu 8: Cho biết log_b2x + log_x2b = 1, b > 0, b ≠ 1, x ≠ 1. Khi đó x bằng:
A. b    B. √b    C. 1/b     D. 1/b²
Câu 9: Cho biết 2^x = 8^{y + 1} và 9^y = 3^{x – 9} . Tính giá trị của x + y
A. 21     B. 18   C. 24    D. 27
Câu 10: Giả sử x, y là hai số thực thỏa mãn đồng thời 3^{x2 – 2xy} = 1 và 2log₃x = log₃(y + 3). Tính x + y
A. 9/4     B. 3/2    C. 3   D. 9

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 6:
Điều kiện x > 1. Khi đó phương trình tương đương với
logx(x – 1) = log(x + 3) <=> x(x – 1) = x + 3 <=> x² – 2x – 3 = 0

Loại nghiệm x = -1 do không thỏa mãn điều kiện. Phương trình có một nghiệm x = 3.
Chọn đáp án B.
Chú ý: Cũng như ở ví dụ 5, sai lầm học sinh dễ gặp bài này là do chủ quan muốn tiết kiệm thời gian mà quên đặt điều kiện, dẫn tới không loại được nghiệm x = -1 và chọn phương án nhiễu D.
Câu 7:
Điều kiện x > -1. Khi đó phương trình tương đương với
2log₂(x + 1) = log₂(x² + 2)

Chọn đáp án B
Câu 8:

<=> (log_bx – 1)² = 0 <=> log_bx = 1 <=> x = b . Chọn đáp án A.
Chú ý. Khác với các ví dụ trên, các biến đổi trong ví dụ này không làm mở rộng miền xác định của phương trình (x > 0). Do đó ta đã không nhất thiết phải đặt điều kiện x > 0. Trong nhiều trường hợp việc bỏ qua đặt điều kiện sẽ làm đơn giản hơn và tiết kiệm thời gian.
Câu 9:
2^x = 8^{y + 1} => 2^x = 2^{3y + 3} => x = 3y + 3
9^y = 3^{x – 9} => 2y = x – 9
Từ (1) và (2) tìm được x = 21, y = 6. Vậy x + y =27.
Chọn đáp án D.
Câu 10:
Điều kiện x > 0, y > -3. Ta có: 3^{x2 – 2xy} = 1 <=> x² – 2xy = 0 <=> x(x – 2y) = 0 <=> x – 2y = 0 (x > 0) <=> x = 2y (1)
2log₃x = log₃( y + 3) <=> log₃x² = log₃(y + 3) <=> x² = y + 3 (2)
Thế (1) vào (2) ta được

Bài tập trắc nghiệm phần 3

Đề bài trắc nghiệm

Câu 1: Giải phương trình 10^x = 0,00001
A. x = -log4    B. x = -log5    C. x = -4    D. x = -5
Câu 2: Giải phương trình

Câu 3: Cho phương trình

Nghiệm của phương trình này nằm trong khoảng nào dưới đây ?

Câu 4: Giải phương trình 3^{2x – 3} = 7 . Viết nghiệm dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần nghìn.
A. x = 2,38   B. x = 2,386    C. x = 2,384   D. x = 1,782
Câu 5: Tính tổng bình phương các nghiệm của phương trình 4^{x2 + 2} – 9.2^{x2 + 2} + 8 = 0
A. 2   B. 4   C. 17   D. 65
Câu 6: Giải phương trình 4^x + 2^{x + 1} – 15 = 0. Viết nghiệm tìm được dưới dạng thập phân, làm tròn đến hàng phần trăm
A. x = 0,43     B. x = 0,63    C. x = 1,58    D. x = 2,32
Câu 7: Giả sử x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình 7^x + 2.7^{1 – x} – 9 = 0.

A. log₂7 + 1   B. log₇2 + 1    C. log₇2    D. log₂7
Câu 8: Tìm nghiệm của phương trình 4^{1 – x} = 3^{2x + 1}

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 1:
10^x = 0,00001 <=> 10^x = 10^-5 <=> x = -5
Câu 2:
PT <=> 1 – e^-2x = 1/2 <=> e^-2x = 1/2 <=> -2x = ln(1/2) = -ln2 <=> x = (1/2)ln2
Câu 3:
PT <=> 5^{x – 1} = 5^-2x <=> x – 1 = -2x <=> 3x = 1 <=> x = 1/3
Câu 4:
3^{2x – 3} = 7 <=> 2x – 3 = log₃7 <=> x = (1/2)(log₃7 + 3) ≈ 2,386
Câu 5:
Đặt t = 2^{x2 + 2}, nhận được t² – 9t + 8 = 0 <=> t = 1 hoặc t = 8
Với t = 1, nhận được 2^{x2 + 2} = 1 (vô nghiệm)
Với t = 8, ta có: 2^{x2 + 2} = 8 = 2³ <=> x² + 2 = 3 <=> x = ± 1
Tổng bình phương các nghiệm: 1² + (-1)² = 2
Câu 6:
Đặt t = 2^x > 0, nhận được phương trình t² + 2t – 15 = 0 <=> t = -5 (loại) hoặc t = 3 hay 2^x = 3 <=> x = log₂3 = ln3/ln2 ≈ 1,58
Câu 7:
Đặt t = 7^x, được phương trình:

Từ đó tìm được x₁ = 1, x₂ = log₇2. Ta có:

Câu 8:
4^{1 – x} = 3^{2x + 1} <=> 2^{2 – 2x} = 3^{2x + 1}
Lấy lôgarit cơ số 3 hai vế ta được :
(2 – 2x)log₃2 = 2x + 1 <=> 2x(log₃2 + 1) = 2log₃2 – 1

 

Bài tập trắc nghiệm phần 4

Đề bài trắc nghiệm

Câu 9: Giải phương trình log₅(x + 4) = 3
A. x = 11    B. x = 121    C. x = 239    D. x = 129
Câu 10: Tìm các số thực a thỏa mãn log₁₀(a² – 15a) = 2

Câu 11: Giải phương trình x²lnx = lnx⁹
A. x = 3   B. x = ±3    C. x = 1, x = 3    D. x = 1, x = ±3
Câu 12: Giải phương trình log₄(log₃(log₂x)) = 0
A. x = 2    B. x = 8    C. x = ∛2    D. x = 4³²
Câu 13: Giải phương trình lnx + ln(x – 1) = ln2
A. x = 3/2    B. x = -1, x = 2    C. x = 2    D. x = 1, x = 3/2
Câu 14: Giả sử α và β là hai nghiệm của phương trình 3 + 2log₂x = log₂(14x – 3). Khẳng định nào sau đây là đúng ?
A. α = -4    B. log₂α = -2    C. α = 3/2    D. α3/14
Câu 15: Tính tích các nghiệm của phương trình log_x4 + log₄x = 17/4
A. 1    B. 16    C. 4∜4   D. 256√2
Câu 16: Tìm hai số x và y đồng thời thỏa mãn 3^{x + y} = 81 và 81^{x – y} = 3

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 9:
PT <=> x + 4 = 5³ = 125 <=> x = 121
Câu 10:
log₁₀(a² – 15a) = 2 <=> a² – 15a = 10² = 100 <=> a² – 15a – 100 = 0

Câu 11:
Điều kiện x > 0.
PT <=> x²lnx = 9lnx <=> ln(x² – 9) = 0 )

Câu 12:
log₄(log₃(log₂x)) = 0 <=> log₃(log₂x) = 1 <=> log₂x = 3 <=> x = 2³ = 8
Câu 13:
Điều kiện x > 1
PT <=> lnx(x – 1) = ln2 <=> x(x – 1) = 2 <=> x² – x – 2 = 0 <=> x = -1 (loại) hoặc x = 2
Câu 14:
Trước hết, ta giải phương trình 3 + 2log₂x = log₂(14x – 3) (1)
Điều kiện x > 3/14. Khi đó (1) <=7gt; log₂8 + log₂x² = log₂(14x – 3)
<=> 8x² = 14x – 3 <=> = 8x² – 14x + 3 = 0

Câu 15:
Đặt t = log₄x, nhận được phương trình:

Tích hai nghiệm : 256.√2
Câu 16:
3^{x + y} = 81 = 3⁴ => x + y = 4.81^{x – y} = 3 => 3^{4(x – y)} = 3 => 4(x – y) = 1 => x – y = 1/2
Từ đó tìm được x = 17/8, y = 15/8

Bài tập trắc nghiệm phần 5

Đề bài trắc nghiệm

Câu 17: Một quần thể vi khuẩn bắt đầu từ 100 cá thể và cứ sau 3 giờ thì số cá thể lại tăng gấp đôi. Bởi vậy, số cá thể vi khuẩn được biểu thị theo thời gian t (tính bằng giờ) bằng công thức

Hỏi sau bao lâu thì quần thể này đạt đến 50000 cá thể (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) ?
A. 36,8 giờ   B. 30,2 giờ    C. 26,9 giờ    D. 18,6 giờ
Câu 18: Khi đèn flash của một máy ảnh tắt thì ngay lập tức nguồn điện từ pin sẽ xạc cho tụ điện của nó. Lượng điện tích trong tụ xác định bởi công thức

trong đó Q₀ là điện tích tối đa mà tụ có thể tích được, thời gian t tính bằng giây. Hỏi sau bao lâu thì tụ tích được 90% điện tích tối đa ?
A. 3,2 giây   B. 4,6 giây    C. 4,8 giây    D. 9,2 giây
Câu 19: Chiều dài (tính bằng xentimet) của một loài cá bơn ở Thái Bình Dương theo tuổi của nó (kí hiệu là t, tính bằng năm) được ước lượng bởi công thức f(t) = 200(1 – 0,956e^0,18t). Một con cá bơn thuộc loài này có chiều dài 140cm. Hãy ước lượng tuổi của nó.
A. 2,79 năm   B. 6,44 năm    C. 7,24 năm    D. 12,54 năm
Câu 20: Có một dịch cúm trong một khu vực quân đội và số người lính ở đó mắc bệnh cúm sau t ngày (kể từ ngày dịch cúm bùng phát) được ước lượng bằng công thức

trong đó k là một hằng số. Biết rằng có 40 người lính mắc bệnh cúm sau 7 ngày. Tìm giá trị của hằng số k.
A. 0,33   B. 2,31    C. 1,31    D. -2,31
Câu 21: Nếu log(log(log(logx))) = 0 thì x = 10^k . Tìm giá trị của k
A. 10    B. 100    C. 10³    D. 10¹⁰
Câu 22: Giải phương trình log₃x = (-2 + log₂100)(log₃√2)
A. x = 5    B. x = 3√2   C. x = 2⁴    D. x = 50
Câu 23: Tìm tập hợp các nghiệm của phương trình

Hướng dẫn giải và Đáp án

Câu 17:

<=> t/3 = log₂500 <=> t = 3log₂500 ≈ 26,9 (giờ)
Câu 18:
Ta có: Q₀(1 – e^-1/2) = 0,9Q₀ <=> e^-1/2 = 0,1 <=> t = -2ln0,1 ≈ 4,6 (giây)
Câu 19:
f(t) = 200(1 – 0,956e^-0,18t) = 140

Câu 20:
Ta có:

Câu 21:
log(log(log(logx))) = 0 <=> log(log(logx)) = 1 <=> log(logx) = 10 <=> logx = 10¹⁰ <=> x = 10¹⁰¹⁰ => k = 10¹⁰
Câu 22:
log₃ = (-2 + log₂100)(log₃√2) <=> x = 3^{(-2 + log₂100)(log₃√2)} = (3^log₃√2)^{-2 + log₂100}
= √2^{-2 + log₂100}
Câu 23:
Lấy lôgarit cơ số 10 hai vế phương trình ta được
(logx)(logx) = 3logx – log100 <=> (logx)² – 3logx + 2 = 0

 
Xem thêm các bài viết về Hàm số lũy thừa, hàm số mũ, hàm số logarit TẠI ĐÂY